Barzilai-Borwein法は、n≧4のすべての次元において、二次関数の非線形収束に失敗する

コンピューターで計算を解くとき、答えに早くたどり着けるかどうかは、その方法（アルゴリズム）の性能にかかっています。今回、科学者たちが注目したのは「Barzilai-Borwein（BB）法」という、計算を解くためによく使われる方法の一つです。このBB法は、実際に使ってみると「すごく便利で、早く答えにたどり着ける」と評判でした。しかし、なぜそんなにうまくいくのか、その仕組みは実はよく分かっていなかったのです。

今回、n≧4という、ある程度の複雑さを持った計算問題（次元が4以上の場合）において、BB法が「思ったほど速く解けない」ケースがあることが具体的に示されました。これは、計算の「二次関数」という特別な形と、計算を始める「初期値」の選び方によっては、BB法が期待される「超線形収束」という、ものすごく速いスピードで答えに近づくことができない、ということを意味します。超線形収束というのは、計算が進むごとに、正解にたどり着くスピードがどんどん加速していくようなイメージです。

これまで多くの研究者は、「BB法は、ほとんどどんな状況でも超線形収束してくれるだろう」と期待していました。しかし、今回の発見は、その「ほとんど」という部分に例外があることを突きつけたのです。つまり、BB法が常に最速で解けるわけではない、ということが理論的に証明された形になります。この結果は、BB法がどのように機能するのか、という理論的な理解を深める上で非常に重要です。また、今後、さらに性能の良い計算方法を開発するためのヒントにもなるでしょう。計算機科学の世界では、こうした理論的な発見が、私たちの使う様々なソフトウェアやサービスの進化につながっていくのです。